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  <title>Galois 理论</title>
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<body>

<p class="remark">
  <b>单代数扩域的 `bbb F`-自同构</b><br>
  域 `bbb K` 上全体自同构关于变换的通常合成构成一个群 `Aut(bbb K)`, 称为
  `bbb K` 的<b>自同构群</b>.<br>
  下面只看单代数扩域. 记 `bbb K = bbb F(alpha)`, `alpha` 是 `bbb F`
  上代数元. 于是 `bbb K` 中元素形如 `f(alpha)`, 其中 `f in bbb F[x]`.
  令 `sigma in Aut(bbb K)`, `f(x) = c_n x^n + cdots + c_1 x + c_0`, 则
  <span class="formula">
    `sigma(f(alpha))`
    `= sigma(c_n) sigma(alpha)^n + cdots + sigma(c_1) sigma(alpha) + sigma(c_0)`.
  </span>
  假如 `sigma` 保持 `f` 的系数不变: `sigma(c_i) = c_i`, `i = 0, cdots, n`,
  则得到一个漂亮的等式:
  <span class="formula">
    `sigma(f(alpha)) = f(sigma(alpha))`.
  </span>
  进一步, 若 `sigma` 在 `bbb F` 上为恒等映射: `AA b in bbb F, sigma(b) = b`;
  则上式对任意 `f in bbb F[x]` 成立.<br>
  这种在 `bbb F` 上保持恒等的 `bbb K` 的自同构称为 `bbb K` 的 `bbb F`-自同构.
  我们发现, `bbb K` 的 `bbb F`-自同构 `sigma` 由 `alpha` 的像 `sigma(alpha)`
  完全决定. 事实上, 记 `beta = sigma(alpha)`, 则有
  <span class="formula">
    `sigma: bbb K to bbb K`<br>
    `f(alpha) mapsto f(beta)`.
  </span>
  下面考虑 `alpha` 可能的像. 在上式中令 `f` 为 `alpha` 的最小多项式, 就有
  <span class="formula">
    `f(beta) = sigma(f(alpha)) = sigma(0) = 0`.
  </span>
  这指出 `alpha` 的像 `beta` 必为 `f` 的根.
  `alpha` 与 `beta` 有相同的最小多项式, 我们称它们是<b>共轭</b>的.
  `bbb F`-自同构将 `alpha` 映为它的共轭, 换言之, `bbb F`-自同构是对多项式的<b>根的置换</b>.<br>
  本章的主题就是根的置换. 刻画这种置换的工具就是 <b>Galois 群</b>.<br>
  最后, `bbb F`-自同构的数目不超过 `f` 的根的数目, 如果记 `bbb F`-自同构的数目为 `|Gal(bbb K // bbb F)|`, 则
  <span class="formula">
    `|Gal(bbb K // bbb F)| le [bbb K: bbb F] = n`,
  </span>
  如果上式等号成立, 则 `f` 的每个根都决定一个 `bbb F`-自同构,
  这时我们称 `bbb K // bbb F` 是 <b>Galois 扩张</b>:
  这当且仅当 `f` 有 `n` 个不同的根, 且这些根都属于 `bbb K`.
  换言之, `f` <b>可分</b>, 且 `f` 的<b>分裂域</b>含于 `bbb K`.
</p>

<p class="example">
  若 `bbb K, bbb L` 都是 `bbb F` 的有限次扩域, 且 `bbb K` 到 `bbb L` 间存在
  `bbb F`-同态 `varphi`, 则由非平凡的域同态都是单同态知 `varphi` 单;
  又 `varphi` 是 `bbb K` 到 `bbb L` 的线性映射, 所以当 `bbb K`, `bbb L`
  次数相同时, `varphi` 是它们之间的一个同构.
</p>

<h2>Galois 群与 Galois 扩张</h2>

<h3>Galois 群</h3>

<ol class="definition">
  考虑扩域 `bbb K // bbb F`,
  <li>`bbb K` 上全体 `bbb F`-自同构组成 `Aut(bbb K)` 的子群
    <span class="formula">
      `Gal(bbb K // bbb F) := {sigma in Aut(bbb K): {:sigma|_(bbb F)
      = {:"id"|_(bbb F):}:}}`,
    </span>
    称为 `bbb K` 在 `bbb F` 上的 <b>Galois 群</b>.
  </li>
  <li>设 `G le Aut(bbb K)`, 视 `G` 为 `bbb K` 上的群作用, 则 `bbb K`
    在 `G` 作用下的全体不动点构成 `bbb K` 的子域
    <span class="formula">
      `Inv(G) := {alpha in bbb K: (AA g in G) g(alpha) = alpha}`,
    </span>
    称为 `bbb K` 的 <b>`G`-不动子域</b>.
  </li>
</ol>

<p class="remark">
  固定 `bbb K` 时, `Gal` 可以视为映射, 它将 `bbb K` 的子域映为 `Aut(bbb
  K)` 的子群; `Inv` 则将 `Aut(bbb K)` 的子群映为 `bbb K` 的子域:
  <span class="formula">
    `bbb K overset(Gal)underset(Inv)⇄ Aut(bbb K)`
  </span>
</p>

<ol class="corollary" id="cor-galois-group">
  在域 `bbb K` 上考虑 `Gal` 与 `Inv` 这一对映射, 简记
  `Gal(bbb F) = Gal(bbb K // bbb F)`, 则它们 (关于子域和子群) 是单调减的:
  <li>`bbb E le bbb F rArr` `Gal(bbb E) ge Gal(bbb F)`;</li>
  <li>`G le H rArr` `Inv(G) ge Inv(H)`;</li>
  考虑这一对映射的复合, 有
  <li>`Inv(Gal(bbb F)) ge bbb F`;</li>
  <li>`Gal(Inv G) ge G`;</li>
  <li>`Gal(bbb F) = Gal(Inv(Gal(bbb F)))`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
  <li>`bbb F` 上的恒等变换也是 `bbb E` 上的恒等变换;</li>
  <li>在 `H` 的作用下不变, 蕴含在 `G` 的作用下不变;</li>
  <li>由定义, Galois 群起码保证 `bbb F` 中的点不动;</li>
  <li>设 `bbb F = Inv G`, 则 `AA g in G`, `g{:|:}_(bbb F) = "id"{:|:}_(bbb
    F)`, 即 `g in Gal(bbb F)`.
  </li>
  <li>设 `bbb E = Inv(Gal(bbb F)) ge bbb F`, 则左边 `ge` 右边.
    设 `G = Gal(bbb F)`, 则右边 `= Gal(Inv G) ge G = `左边.
  </li>
</ol>

<p class="remark">
  比较集合论中的结果: 令 `f: X to Y`, 有
  <span class="formula">
    `A sube B rArr f(A) sube f(B)`,<br>
    `C sube D rArr f^-1(C) sube f^-1(D)`,<br>
    `f^-1(f(A)) supe A`, 等号成立当且仅当 `f` 单,<br>
    `f(f^-1(C)) sube C`, 等号成立当且仅当 `f` 满.
  </span>
</p>

<h3>Galois 扩张</h3>

<p class="definition">
  <b>Galois 扩张</b>
  上述推论的 3. 取等号时, `Inv(Gal(bbb F)) = bbb F`,
  `Inv` 恰为 `Gal` 的左逆.
  这时称 `bbb K // bbb F` 是 <b>Galois 扩张</b>.
  Galois 扩张有许多等价的定义, 下面就来讨论它们.
</p>

<p class="definition">
  若多项式 `f` 的任意不可约因式无重根, 则称 `f` <b>可分</b>.
  若 `bbb F` 是特征为零的域, 则任意 `f in bbb F[x]` 都可分.
</p>

<p class="example">
  <b>不可分多项式的例子</b>
  考虑 `bbb F_p` 上的超越元 `u`, 令 `bbb K = bbb F_p(u)` 是 `bbb F_p`
  的超越扩张, 则 `f(x) = x^p - u in bbb K[x]` 不可分.
</p>

<ol class="proof">
  <li>先证 `f` 有重根. 取 `f` 的任一根 `alpha`, 则 `alpha^p = u`, 注意到 `K` 的特征为 `p`, 有
    <span class="formula">
      `f(x) = x^p - alpha^p = (x-alpha)^p`,
    </span>
    即 `alpha` 为 `p` 重根.
  </li>
  <li>再证 `f` 不可约. 若 `f` 可约, 则有非平凡分解 `f = g h`,
    且 `alpha` 是 `g, h` 的根. 设 `g(x) = (x-alpha)^k`, 其中 `0 lt k lt p`,
    则 `g(x)` 的常数项 `(-alpha)^k !in bbb K`. 这说明 `g !in bbb K[x]`,
    矛盾.
  </li>
</ol>

<p class="lemma">
  <b>有限次扩域的 Galois 群为有限群</b>
  设 `bbb K // bbb F` 为有限次扩域, 则
  <span class="formula">
    `|Gal(bbb K // bbb F)| le [bbb K: bbb F]`.
  </span>
  等号成立当且仅当 `bbb K` 为 `bbb F` 上一可分多项式的分裂域.
</p>

<!-- ?? -->

<ol class="theorem">
  <b>Galois 扩张的等价条件</b>
  对有限次扩域 `bbb K // bbb F`, 以下各款等价:
  <li>`bbb K // bbb F` 是 Galois 扩张;</li>
  <li>`bbb K` 是 `bbb F` 上一可分多项式的分裂域;</li>
  <li>`|Gal(bbb K // bbb F)| = [bbb K: bbb F]`.</li>
  最常用的推论是:
  特征为零的域 `bbb F` 上任意多项式的分裂域都是 `bbb F` 的 Galois 扩张.
</ol>

<ol class="proof enum">
  <li>
    <ol>`rArr` 2:
    只需证任意 `alpha in bbb K` 在 `bbb F` 上的最小多项式 `p(x)` 无重根,
    且 `p(x)` 的所有根属于 `bbb K`.
    <li>
      由引理, `G := Gal(bbb K // bbb F)` 为有限群, 因此轨道
      <span class="formula">
        `O_alpha = {sigma(alpha): sigma in G}`
      </span>
      是有限集. 不妨令 `O_alpha` 中所有不同的元素为
      <span class="formula">
        `sigma_1(alpha) = alpha`,
        `sigma_2(alpha), cdots, sigma_r(alpha)`,
      </span>
      其中 `sigma_1 = {:"id"|_(bbb K)` 为 `bbb K` 上的恒等自同构.
    </li>
    <li>
      设 `f(x) in bbb F[x]`,  `f(alpha) = 0`, 则
      `AA sigma in G`, 由 `sigma` 为 `bbb F`-自同构知,
      <span class="formula">
        `f(sigma(alpha)) = sigma f(alpha) = sigma(0) = 0`.
      </span>
      从而根 `alpha` 的置换 `sigma(alpha)` 仍为 `f(x)` 的根.
      这启发我们构作
      <span class="formula">
        `q(x) = prod_(i=1)^r (x - sigma_i(alpha))`
        `= sum_(j=0)^r q_j x^j`.
      </span>
      显然 `q(x)` 无重根, 且它的所有根属于 `bbb K`.
    </li>
    <li>
      下证 `q(x) = p(x)`.
      由 Vieta 定理知道, `q_j` 是所有根的对称多项式:
      <span class="formula">
        `q_j = s(sigma_1(alpha), cdots, sigma_r(alpha))`,
      </span>
      `AA sigma in G`, `sigma sigma_1(alpha), cdots, sigma sigma_r(alpha)`
      是所有根的一个排列, 因此 `q_j` 是 `sigma` 的不动点:
      <span class="formula">
        `sigma(q_j) = q_j`, `quad j = 0, 1, cdots, r-1`.
      </span>
    </li>
    <li>
      由假设, `bbb K` 为 `bbb F` 的 Galois 扩张, 即 `Inv(G) = bbb F`,
      故 `sigma` 的所有不动点必属于 `bbb F`, 于是 `q_j in bbb F`, 即
      `q(x) in bbb F[x]`. 我们得到: `q(x)` 是 `alpha` 在 `bbb F`
      上的零化多项式, 因此 `p(x) | q(x)`.
      另一方面, 在 (2) 中取 `f = p` 可知 `q(x)` 的任一根都是 `p(x)` 的根,
      于是 `q(x) | p(x)`, 从而 `p(x) = q(x)`.
    </li>
    </ol>
  </li>
  <li>`rArr` 3: 由引理知结论成立.
  </li>
  <li>`rArr` 1:
    令 `bbb E = Inv(Gal(bbb K // bbb F)) ge bbb F`,
    由<a class="ref" href="#cor-galois-group"></a> 的 5,
    <span class="formula">
      `Gal(bbb K // bbb F) = Gal(bbb K // bbb E)`.
    </span>
    从而
    <span class="formula">
      `[bbb K: bbb F]`
      `= |Gal(bbb K // bbb F)|`
      `= |Gal(bbb K // bbb E)|`
      `le [bbb K: bbb E]`,
    </span>
    这推出 `bbb F ge bbb E`, 于是 `bbb F = bbb E`, 即 `bbb K` 为 `bbb F`
    的一个 Galois 扩张.
  </li>
</ol>

<h2>Galois 对应定理</h2>

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</html>
